Question

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=a^x+b（a＞0且a≠1），且f(

3

2

)=

1

2

．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数g（x）=f²（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）+f（-x）=0可知函数为奇函数，由f（x-1）=f（x+1），可得函数为周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行求值．
（2）利用指数函数的单调性，求g（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
∵f（x-1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（0）=0，即b=-1．
又f(

3

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=1-

a

=

1

2

，
解得a=

1

4

．
（2）当x∈[0，1]时，f(x)=

1

4x

-1∈[-

3

4

，0]，
由f（x）为奇函数知，
当x∈[-1，0]时，f(x)∈[0，

3

4

]，
∴当x∈R时，f(x)∈[-

3

4

，

3

4

]，
∴g(x)=(f(x)+

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，

21

16

]．

点评：本题综合考查了函数奇偶性和周期性的应用，以及利用指数函数的单调性求函数的值域问题，综合性较强．