【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,
平面
,
.
(1)证明:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由平面
及底面
是正方形可证得
平面
,则
,又由
,即可求证;
(2)以为原点,分别以
所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
,由(1)可知
为平面
的一个法向量,求得平面
的一个法向量
,进而利用数量积求解即可
(1)证明:因为平面
,
平面
,
所以,
因为底面是正方形,所以
,
又,所以
平面
,
因为平面
,所以
,
又因为,
平面
,
所以平面
(2)因为平面
,底面
为正方形,
所以,以
为原点,分别以
所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
(如图所示),
设,则
,
因为,所以
为
中点,所以
,
所以,
由(1)得为平面
的一个法向量,
设平面的一个法向量为
,
由,即
,令
,则
,所以
,
因此,
由图可知二面角的大小为钝角,
故二面角的余弦值为
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【题目】某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+1nx+
﹣17(万元).已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的产M当年全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3≈20)
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【题目】“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉,甲戌、乙亥、丙子、…、癸未,甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳,…,共得到60个组合,周而复始,循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年,那么2020年是“干支纪年法”中的( )
A.已亥年B.戊戌年C.庚子年D.辛丑年
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设点集,
令
.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当n=1时,求X的概率分布;
(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
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【题目】如图,有一块三棱锥形木块,各面均是锐角三角形,其中面
内有一点
.
(1)若要在面内过点
画一条线段
,其中点
在线段
上,点
在线段
上,且满足
与
垂直,该如何求作?请在图中画出线段
并说明画法,不必证明;
(2)经测量,,
,
,
,若
恰为三角形
的重心,
为(1)中所求线段,求三棱锥
的体积.
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【题目】天气预报说,今后三天每天下雨的概率相同,现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率,用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率,可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨;投三次骰子代表三天;产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下:613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中,每天下雨的概率的近似值是__________,三天中有两天下雨的概率的近似值为__________
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