Question

【题目】在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且.

（1）求的方程；

（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由..

Answer 1

【答案】（1）； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上.

【解析】

（1）联立，得，利用 ，结合韦达定理列方程求得，从而可得结果；（2）求出线段的中垂线方程.联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或，分别利用求得的值，验证是否符合题意即可.

（1）联立，得，

则，，

从而 .

， ，

即，解得，故的方程为.

（2）设线段的中点为，

由（1）知，，，

则线段的中垂线方程为，即.

联立，得，解得或，

从而的外心的坐标为或.

假设存在点 ，设的坐标为，

，

，则.

，.

若的坐标为，则，

，则的坐标不可能为.

故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上.