Question

已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+

a2

x

，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立等价于g（x₁）_min≥f（x₂）_max，从而转化为分别求函数g（x），f（x）在[1，e]的最小值、最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1

e

，
∴f（x）的增区间是（

1

e

，+∞）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜

1

e

，
∴f（x）的减区间是（0，

1

e

）．
∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）_max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max．
当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．
∴[f（x）]_max=f（e）=e．
∵g(x)=x+

a2

x

，（a＞0），
∴g ′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＞0，
∴函数g(x)=x+

a2

x

，在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]_min=g（1）=1+a²．
由1+a²≥e，得a≥

e-1

，
又0＜a＜1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
若a＜x≤e，则g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＞0．
∴函数g(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[g（x）]_min=g（a）=2a．
由2a≥e，得a≥

e

2

，
又1≤a≤e，∴

e

2

≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
∴函数g(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数．
∴[g(x)]min=g(e)=e+

a2

e

．
由e+

a2

e

≥e，得a∈R，
又a＞e，∴a＞e． （15分）
综上所述，a的取值范围为[

e

2

，+∞)．

点评：本题综合考查了极值存在的性质及零点判定定理的运用，函数的恒成立问题，解决此类问题常把问题进行转化，体现了转化的思想、方程与函数的思想的运用．属于中等难度的试题．