Question

（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？
（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，用插空法，先将3人与4张空椅子排好，再将剩余的两把椅子插入，分“分别插入两个空位”与“插入同一个空位”两种情况分析，进而考虑3个人之间的排列，由A₃³种不同的坐法，有分步计数原理，可得答案，
（2）可先让4人坐在4个位置上，有A₄⁴种排法，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，插入4个人形成的5个“空当”之间，由排列公式，计算可得答案．
解答：解：（1）先将3人（用×表示）与4张空椅子（用□表示）
排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，
还有2张空椅子，
第一种情况是分别插入两个空位，
如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），
即从4个空当中选2个插入，有C₄²种插法；
二是2张插入同一个空位，有C₄¹种插法，
再考虑3人可交换有A₃³种方法，
所以，共有A₃³（C₄²+C₄¹）=60（种）．
（2）可先让4人坐在4个位置上，有A₄⁴种排法，
再让2个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”）
插入4个人形成的5个“空当”之间，有A₅²种插法，所以所求的坐法数为A₄⁴•A₅²=480．
点评：本题考查排列、组合的综合应用，注意这类题目的特殊方法，如插空法、捆绑法等．