Question

【题目】在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（1）求曲线C1的方程
（2）设P（x0 ， y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|= 且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧

∴ =x+5

化简得曲线C1的方程为y2=20x

（2）

证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），

∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，

∴ ，整理得 ①

设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根

∴ ②

由 ，消元可得 ③

设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，

∴y1，y2是方程③的两个实根

∴ ④

同理可得 ⑤

由①②④⑤可得 = =6400

∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．

【解析】（1）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|= 且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C1的方程；（2）当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），设切线方程为kx﹣y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得 ，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1 ， k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1 ， y2 ， y3 ， y4 ， 从而可得 ；同理可得 ，由此可得当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．