Question

【题目】已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）2+ sin（2x+ ）（x∈R）．
（1）求函数f（x）的递减区间；
（2）若f（α）= ，α∈（ ， ），求cos（2α+ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2+ sin（2x+ ）=1﹣sin2x﹣ cos2x=1﹣2（ sin2x+ cos2x）=1﹣2sin（2x+ ），

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函数的减区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）解：∵f（α）= ，α∈（ ， ），∴1﹣2sin（2α+ ）= ，∴sin（2α+ ）= ，

根据2α+ ∈（ ， ），可得cos（2α+ ）=﹣ =﹣ ．

故cos（2α+ ）=cos[（2α+ ）+ ]=cos（2α+ ）cos ﹣sin（2α+ ）sin =﹣ ﹣ =﹣ ．

【解析】1、由两角和差的正弦公式可化简f（x）的解析式为f（x）=1﹣2sin（2x+ ）整体思想可得函数的减区间。
2、由已知可得sin（2α+ ）= 整体思想可得cos（2α+ ）=-再由拼凑法可得cos（2α+ ）=cos[（2α+ ）+ ]求得结果。
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数即可以解答此题．