练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    在区间（0，2）上递减；
    （1）函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    在区间
     
    上递增．当x=
     
    时，y最小=
     
    ．
    （2）证明：函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）递减．
    （3）思考：函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    有最值吗？如有，是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）．
    分析：（1）利用表中y值随x值变化的特点，可以知道函数值是先减后增，只要找到临界点即可得到答案．
    （2）法一：根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数在区间（0，2）上的符号，即可判断出函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上的单调性，进而得到答案．
    法二：任取区间，（0，2）上的任意两个数x1，x2，且x1＜x2．构造f（x1）-f（x2）的差，并根据实数的性质判断其符号，根据函数单调性的定义，即可得到结论．
    （3）根据的解析式，我们易求出函数在定义域为奇函数，根据奇函数的性质，结合（1）的结论，易得到结果．
    解答：解：（1）由表格中的数据，我们易得：
    函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    在区间（2，+∞）上递增．
    当x=2时，y最小=4．；
    （2）方法一：由f（x）=x+
    4
    x
    ，
    ∴f'（x）=1-
    4
    x2
    =
    (x-2)(x+2)
    x2
    ，
    当x∈（0，2）时，∴f'（x）＜0，
    ∴函数在（0，2）上为减函数．
    方法二：设x1，x2是区间，（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=x1+
    4
    x1
    -(x2+
    4
    x2
    )=x1-x2+
    4
    x1
    -
    4
    x2
    =(x1-x2)(1-
    4
    x1x2
    )
    =
    (x1-x2)(x1x2-4)
    x1x2

    ∵x1＜x2，∴x1-x2＜0
    又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜x1x2＜4，∴x1x2-4＜0，
    ∴y1-y2＞0∴函数在（0，2）上为减函数．
    （3）∵f（-x）=-x-
    4
    x
    =-f（x），
    ∴f（x）是奇函数，
    又因为当x=2时y最小=4，
    所以 y=x+
    4
    x
    ，x∈(-∞，0)时，x=-2时，y最大=-4
    点评：对于给定解析式的函数，判断或证明其在某个区间上的单调性问题，可以结合定义求解，可导函数也可利用导数解之．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
     
    上递增；
    （2）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    ，当x=
     
    时，y最小=
     
    ；
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=2x+
    8
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 16 10 8.34 8.1 8.01 8 8.01 8.04 8.08 8.6 10 11.6 15.14 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）证明：函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）递减．
    （3）思考：函数f(x)=2x+
    8
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    观察下列表格，探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的性质，
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    （1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．
    当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）证明：函数f(x)=x+
    4
    x
    在区间（0，2）递减．
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：徐州模拟 题型：解答题

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案