Question

如图，在四棱锥中，，，且DB平分，
E为PC的中点，,                                 
（Ⅰ）证明 
（Ⅱ）证明
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

Answer 1

证明见解析 (3)正切值为。

（Ⅰ）要证明只需证明 E为PC的中点，在找一中点，构成中位线，得出平行；
（Ⅱ）证明，因为所以，
再找
BC在平面PBD内的射影，做垂线BH,也可证明，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。
证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又
,所以
（2）证明：因为，，所以
由（1）知，,故
(3)解：由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。
由,
在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。