Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知不经过点P（0，2）的直线l：交椭圆C于A，B两点，M在AB上满足且，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点，详见解析

【解析】

（1）根据题意可得，解出方程可得椭圆的标准方程；（2）设，，根据向量的关系以及三角形的性质可得为外接圆的直径，即，根据点A，B在直线上可得，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理代入可得，解出方程或，代入直线中即可得定点.

解：（1）由题意得解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，

又，所以，，

因为在上满足，所以为的中点．

又，即，

所以线段为外接圆的直径，

即，

所以．

又在直线上，

所以，

即，

联立消得，

因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以，

即，

由韦达定理得代入（*）中，得，

解得或，

所以直线：或，

所以直线过定点或（舍去），

综上所述：直线恒过定点．