Question

已知点，椭圆的右准线l₁+x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得？若存在，求出直线l；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，a²=b²+c²，从而可求
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，假设存在满足条件的直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则，，由可求k的值
解答：解（1）：由题意可得，a²=b²+c²
解可得，a²=2，b²=1
所以椭圆方程
（2）由（1）得F（1，0），0≤m≤1，
假设存在满足条件的直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程整理可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
∴
∴==，的方向向量（1，k）
∴
∴，
所以存在直线l，且直线的方程为
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆相交的位置关系的应用，这是直线与圆锥曲线中的常考的试题类型．