Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA1B1B为正方形，且AA1⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．
（Ⅰ） 若BC1∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下： 连接AC1 ， 交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，
因为BC1∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD=DE，
所以BC1∥DE，
故D为AB的中点．
（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B1C1的中点O，O1 ， 连接AO，OO1 ， 可知OB，OO1 ， OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．

知 ，
则 ， ，
设面A1CD的法向量m=（x，y，z），
由 得
令x=1，得A1CD的一个法向量为 ，
又平面BCC1的一个法向量n=（0，0，1），
设二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角为α，
则 ．
即该二面角的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：连接AC1 ， 交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，利用线面平行的性质定理、三角形中平行线的性质即可得出．（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B1C1的中点O，O1 ， 连接AO，OO1 ， 可知OB，OO1 ， OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系可得：平面A1CD的法向量 ，又平面BCC1的一个法向量 =（0，0，1），利用向量夹角公式即可得出．