Question

【题目】设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求实数a的值；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a的值为－1或－3；

（2）a的取值范围是a≤－3.

【解析】

（1）根据条件A∩B＝{2}，得到，代入方程，求得的值，分类讨论即可求解；

（2）由A∪B＝A，转化为，然后分类讨论，建立关系式，即可求解实数的取值范围.

解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，

故集合A＝{1,2}．

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，

得a2＋4a＋3＝0a＝－1或a＝－3.

当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．

综上，a的值为－1或－3.

(2)对于集合B，

Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．

∵A∪B＝A，∴BA.

①当Δ<0，即a<－3时，B＝，满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，

则由根与系数的关系得矛盾．

综上，a的取值范围是{a|a≤－3}．