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    （1）△ABC中，证明：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
    （2）计算：sin217°+cos247°+sin17°cos47°．

    解：（1）△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA…（*）
    又∵===2R（R是外接圆半径）
    ∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
    代入（*）式，得4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-2•2RsinB•2RsinCcosA
    两边约去4R2，得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
    （2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
    ∴sin217°+cos247°+sin17°cos47°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
    设△ABC中，B=17°，C=43°，则A=180°-（17°+43°）=120°
    由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，
    即sin2120°=sin217°+sin243°-2sin17°sin43°cos120°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
    ∴sin217°+sin243°+sin17°sin43°=sin2120°=（）2=
    即sin217°+cos247°+sin17°cos47°=．
    分析：（1）根据余弦定理得到a2关于b、c和cosA的式子，结合正弦定理得a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，将其代入前面的式子，约去4R2即可得到所求证的等式成立．
    （2）由诱导公式得cos47°=sin43°，从而原式=sin217°+sin243°+sin17°sin43°．构造△ABC中：B=17°，C=43°，A=120°，利用（1）中的结论可得原式=sin2120°=．
    点评：本题利用正、余弦定理，证明了一个三角恒等式，并利用该式求值，着重考查了三角恒等变换和正余弦定理等知识，属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知
    AM
    =
    c
    、
    AN
    =
    d
    ，试用
    c
    、
    d
    表示
    AB
    和
    AD
    ．
    （2）在△ABC中，若
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    若P，Q，S为线段BC的四等分点，试证：
    AP
    +
    AQ
    +
    AS
    =
    3
    2
    (
    a
    +
    b
    )    ；

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=
    1
    2
    （a+b+c）
    （1）证明
    1
    A
    +
    1
    B
    +
    1
    C
    ≥
    9
    π
    ；
    （2）若s2=2ab，试证s＜2a．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （08年安徽信息交流）在周长为6的△ABC中，∠A、∠B   、∠C所对的边分别为，若成等比数列；

    （1）求B的取值范围；

    （2）求△ABC的面积S的最大值；

    （3） 当△ABC的面积S最大时，过△ABC的重心G作直线交边AB于M，交边AC与N，设∠AGM=，试证：。

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    科目：高中数学 来源：2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

    PC的中点．

    （1）求证：EF∥平面PAD；

    （2）求证：EF⊥CD；

    （3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

    【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

    第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

    第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

    第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

    证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

    ∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

    （2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

    （3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省泉州市季延中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=（a+b+c）
    （1）证明++≥；
    （2）若s2=2ab，试证s＜2a．

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