Question

在如图所示的多面体中,底面△ABC是边长为2的正三角形,DA和EC均垂直于平面ABC,且DA=2,EC=1.

(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;

(2)求二面角B-ED-A的正切值.

Answer 1

解:(1)取DA的中点F,连结FE、FB,则FE∥AC,

∴异面直线BE与AC所成的角等于∠BEF.

在△BEF中,FE=2,BF=BE=,∴cos∠BEF=.

(2)由DA⊥平面ABC可知,DACB为直二面角,取AC的中点M,连结BM,则BM⊥AC,从而BM⊥平面ADEC,过点M作MN⊥直线DE,N为垂足,连结BN,则BN⊥直线DE.

因此,∠BNM是所求二面角的平面角.

设AC、DE的延长线相交于点P,∵DA=2EC,∴CP=2.

由△MNP≌△DAP,得,MP=3,DA=2,DP=2,于是MN=.

又BM=,从而tan∠BNM=.