Question

A市将于2010年6月举行中学生田径运动会，该市某高中将组队参赛，其中队员包括10名男子短跑选手，来自高中一、二、三年级的人数分别为2、3、5．
（Ⅰ）从这10名选手中选派2人参加100米比赛，求所选派选手为不同年级的概率；
（Ⅱ）若从这l0名选手中选派4人参加4×100米接力比赛，且所选派的4人中，高一、高二年级的人数之和不超过高三年级的人数，记此时选派的高三年级的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记所求事件为A，由题设条件知P（A）=

C 1 2 C 1 3 + C 1 3 C 1 5 + C 1 2 C 1 5

C 2 10

．由此能求出所选派选手为不同年级的概率．
（Ⅱ）据题意可知ξ可能取值为2.3.4．当ξ=2时，符合要求的事件个数为C₂¹C₃¹C₅²+C₂²C₅²+C₃²C₅²=100；当ξ=3时，符合要求的事件个数为C₂¹C₅³+C₃¹C₅³=50；当ξ=4时，符合要求的事件个数是C₅⁴=5．由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（Ⅰ）记所求事件为A，则P（A）=

C 1 2 C 1 3 + C 1 3 C 1 5 + C 1 2 C 1 5

C 2 10

=

31

45

．
（Ⅱ）据题意可知ξ可能取值为2.3.4．
当ξ=2时，符合要求的事件个数为C₂¹C₃¹C₅²+C₂²C₅²+C₃²C₅²=100，
当ξ=3时，符合要求的事件个数为C₂¹C₅³+C₃¹C₅³=50，
当ξ=4时，符合要求的事件个数是C₅⁴=5．
∴p（ξ=2）=

100

100+50+5

=

20

31

，
p（ξ=3）=

50

155

=

10

31

，
p（ξ=4）=

5

155

=

1

31

．
∴随机变量ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	20 31	10 31	1 31

Eξ=2×

20

31

+3×

10

31

+4×

1

31

=

74

31

．

点评：本题考查概率的求法和随机变量ξ的分布列及数学期望．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．