Question

已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC与BD交于E点，BD=2，BC=CD．
（1）取PD中点F，求证：PB∥平面AFC．
（2）求二面角A-PB-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用空间坐标系解．先以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，欲证PB∥平面ACF，只须证PB∥EF，分别求出向量的坐标后，结合向量的线性运算即可进行判断．
（2）欲求二面角A-PB-E的余弦值，只须求出平面PAB、平面PBE的法向量的夹角，再结合图形求其补角即得．
解答：解：以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC⊥BD，
则A（0，0，0）、、、、P（0，0，2）、
（1），
∴，
∴PB∥EF，
∴PB∥平面ACF．
（2）设平面PAB、平面PBE的法向量分别为，
则的夹角的补角就是二面角A-PB-E的平面角．
∵，，，
由及
得，．
∴，
∴二面角A-PB-E的余弦值为．
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及直线与平面平行的判定等知识，还考查了空间想象力、空间向量的运算．属于基础题．