Question

已知圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．
（1）求切线PF的方程；
（2）若抛物线E的焦点为F，顶点在原点，求抛物线E的方程．
（3）若Q为抛物线E上的一个动点，求

AP

•

AQ

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将点A代入圆C方程，求得m的值，得到圆C的方程，再设直线PF的斜率为k，利用直线PF与圆C相切的几何性质求得k值，从而得到切线PF的方程；
（2）设抛物线标准方程为y²=-2px由焦点坐标求得p=8从而写出抛物线标准方程即可；
（3）设Q（x，y），分别求得向量的坐标，再利用向量的数量积得到

AP

•

AQ

关于y的二次函数式，最后利用二次函数的性质即可求

AP

•

AQ

的取值范围．

解答：解：（1）点A代入圆C方程，得（3-m）²+1=5．∵m＜3，∴m=1．
圆C：（x-1）²+y²=5．设直线PF的斜率为k，则PF：y=k（x-4）+4，
即kx-y-4k+4=0．∵直线PF与圆C相切，∴

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

．解得k=

11

2

，或k=

1

2

．
 当k=

11

2

时，直线PF与x轴的交点横坐标为

36

11

，不合题意，舍去．
当k=

1

2

时，直线PF与x轴的交点横坐标为-4，∴符合题意，∴直线PF的方程为y=

1

2

x+2…（6分）
（2）设抛物线标准方程为y²=-2px，∵F（-4，0），∴p=8，∴抛物线标准方程为y²=-16x…（8分）
（3）

AP

=(1， 3)，设Q（x，y），

AQ

=(x-3， y-1)，

AP

•

AQ

=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6．
∵y²=-16x，∴

AP

•

AQ

=x+3y-6=-

1

16

y2+3y-6=-

1

16

(y-24)2+30．
∴

AP

•

AQ

=x+3y-6的取值范围是（-∞，30]．…（13分）

点评：本小题主要考查直线的点斜式方程、抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．