Question

【题目】已知在四棱锥中， 为正三角形， ，底面为平行四边形，平面平面，点是侧棱的中点，平面与棱交于点.

(1)求证： ；

(2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由底面是平行四边形，利用线面平行的判定定理得面，在利用线面平行的性质定理，即可证得．

(2)建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解平面和平面的二面角的余弦值．

试题解析：

（1）∵底面是平行四边形，∴，

又∵面面， 面，

又∵四点共面，且平面平面,

.

(2)取中点，连接侧面为正三角形，故，又平面平面，且平面平面,平面, 在平行四边形中， ，故为菱形， 且是中点， .

如图，建立空间直角坐标系,

因为,则,

又,点是棱中点， 点是棱中点， ,

，设平面的法向量为,

则有, 不妨令,则平面的一个法向量为平面

是平面的一个法向量，

,

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.