Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0），设关于x的方程f（x）=0的两实数根为x₁，x₂，f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1．
（1）若a，b均为负整数，求f（x）解析式；
（2）若α＜1＜β，求（x₁+a）（x₂+a）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
根据a、b均为负整数，从而求出f（x）解析式．
（2）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，用a和b表示出（x₁+a）（x₂+a），讨论a，b的关系可得（x₁+a）（x₂+a）的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴ax²+4x+b=x，由题意知，

α+β=- 3 a   αβ= b a   |α-β|=1

∴a²+4ab-9=0；
∵a、b均为负整数，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2
（2）令g（x）=ax²+3x+b，
由于关于x的方程f（x）=0的两实数根为x₁，x₂，则

x1+x2=- 4 a x1x2= b a

所以（x₁+a）（x₂+a）=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=

b

a

+a2-4 
=

9-a2

4a2

+a2-4=

9

4a2

+a2-

17

4

由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
所以

g(0)＜0   g(1)＞0   g(2)＜0   a＜0   4ab=9-a2

解得-3＜a＜-1，即1＜a²＜9，
由函数y（t）=

9

4t

+t在（0，

3

2

）上单调递减，在(

3

2

，+∞)单调递增，
而t=a²∈（1，9），则y（t）∈[3，

37

4

），故所求取值范围为[-

5

4

，5）

点评：本题考查二次函数的综合运用，考查了确定函数式，方程与函数的关系，以及求一元二次方程的求根公式的应用．