Question

在双曲线

x2

16

-

y2

9

=1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3：2，并求M点到两准线的距离．

Answer 1

分析：设M（x₁，y₁），左右两焦点F₁、F₂，由双曲线第二定义得|MF₁|=ex₁+a，|MF₂|=ex₁-a，由已知条件得2（ex₁+a）=3（ex₁-a），
把e=

5

4

，a=4代入，求出点M的坐标后能得到双曲线准线方程，然后再求出点M（16，±3

15

）到两条准线的距离．

解答：解：设M（x₁，y₁），左右两焦点F₁、F₂，由双曲线第二定义得
|MF₁|=ex₁+a，|MF₂|=ex₁-a，
由已知2（ex₁+a）=3（ex₁-a），
把e=

5

4

，a=4代入，得x₁=16，y₁=±3

15

．
∴点M的坐标为（16，±3

15

）．
双曲线准线方程为x=±

a2

c

=±

16

5

．
∴M（16，±3

15

）到准线的距离为12

4

5

或19

1

5

．

点评：利用双曲线的第二定义和点到直线的距离公式求解．