Question

[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB₁，DC的中点．
（1）求AE与D₁F所成的角；
（2）证明AE⊥面A₁D₁F．

Answer 1

分析：解法一（1）利用向量的数量积求出

AE

•

D1F

=0，即可求出AE与D₁F所成的角是90°；
（2）通过（1）

AE

⊥

D1F

，以及证明AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，即可得到结论．
解法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出AE与D₁F的向量，通过数量积求出它们的夹角．
（2）通过数量积为0，说明

AE

⊥

D1F

，AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，得到结论．

解答：解：法一（1）设正方体的棱长为1，

AE

•

D1F

=(

AB

+

BE

)•(

D1D

+

DF

)=

AB

•

D1D

+

AB

•

DF

+

BE

•

D1D

+

BF

•

DF

=

AB

•

DF

+

BE

•

D1D

=

1

2

AB2

-

1

2

D1D

2=0
所以

AE

⊥

D1F

，即AE与D1F所成的角为90°  …（5分）
（2）由（1）

AE

⊥

D1F

，又

AE

•

A1D1

=(

AB

+

BE

)•A1D1=

AB

•

A1D1

+

BE

•

A1D1

=0，
所以AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，
所以AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）
法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），
E（1，1，

1

2

），F（0，

1

2

，0），
D₁（0，0，1）D（0，0，0）
所以

AE

=(0，1，

1

2

)，

D1F

=(0，

1

2

，-1)．
可得

AE

•

D1F

=(0，1，

1

2

)•(0，

1

2

，-1)=0，
故

AE

⊥

D1F

即AE与D1F所成的角为90°
（2）

DA

=(1，0，0)=

D1A1

，且

D   1 A1

•

AE

=(1，0，0)•(0，1，

1

2

)=0
所以AE⊥A₁D₁，
又D₁F∩A₁D₁=D₁，
故AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）

点评：本题是立体几何证明直线与平面的垂直，直线与直线所成的角的求法，考查计算能力，空间想象能力．