Question

已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
(Ⅱ)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数 是的导函数）在区间上总不是单调函数，求的取值范围；  
(Ⅲ)求证：．

Answer 1

（Ⅰ）的单调增区间为，减区间为
(Ⅱ)    (Ⅲ)先证.

解析试题分析：（Ⅰ）当时，．令得；令得，∴的单调增区间为，减区间为 .
（Ⅱ） ∵∴得，
 ，，∴ 
∵在区间上总不是单调函数，且∴  
由题意知：对于任意的，恒成立，
所以，，∴.  故的取值范围为．
（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知
当时，即，
∴对一切成立．
∵，则有，∴.    
.
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．