Question

有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球．
（Ⅰ）若从甲、乙两袋中各任取出2球后并交换放入袋中，求甲袋内恰好有4个白球的概率；
（Ⅱ）若从甲、乙两袋中各任取出1球后并交换放入袋中，求甲袋中白球个数ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意甲袋内恰好有4个白球包含三种情况：①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．每种情况分别求概率，再取和即可．
（Ⅱ）从甲、乙两袋中各任取出1球后并交换放入袋中分种3情况：①甲袋中取1个黑球，且乙袋中取1个白球，此时ξ为5；②甲袋中取1个白球，乙袋中取1个黑球，此时ξ为3；③甲、乙两袋中各取1个黑球或白球，此时ξ为4．三种情况分别求概率即可．

解答：解：（Ⅰ）设甲袋内恰好有4个白球为事件A，则A包含三种情况：
①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，
1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．
∴P(A)=

C 2 4 • C 2 3 + C 1 4 • C 1 2 • C 1 3 • C 1 4 + C 2 2 • C 2 4

C 2 6 • C 2 7

=

8

21

．
（Ⅱ）P(ξ=3)=

C 1 4 • C 1 4

C 1 6 • C 1 7

=

8

21

P(ξ=4)=

C 1 2 • C 1 4 + C 1 4 C 1 3

C 1 6 • C 1 7

=

10

21

P(ξ=5)=

C 1 2 • C 1 3 _1

C 1 6 • C 1 7

=

3

21

，
分布列
Eξ=3×

8

21

+4×

10

21

+5×

3

21

=3.762．

点评：本题考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键是能够正确分类．