Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+
（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）对所有的a≥ ，m∈（0，1），n∈（1，+∞），求f（n）﹣f（m）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

由题意得x2﹣（a+2）x+1=0在x＞0且x≠1有2个不同实根，

∴ 且1﹣（a+2）+1≠0

解得：a＞0

（2）解：由于1﹣（a+2）+1=﹣a＜0，

∴由（1）可得g（x）=x2﹣（a+2）x+1在（0，1），（1，+∞）各有1个零点，

设为x1，x2，且函数f（x）在（0，x1）递增，在（x1，1）递减，在（1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，

∴f（n）﹣f（m）≥f（x2）﹣f（x1）=ln +a ，

∵x2﹣（a+2）x+1=0的两个根是x1，x2，

∴x1x2=1，x1+x2=a+2，x2﹣x1= ，

x1= ，x2= ，

代入得：ln +a =ln + ，

当a= 时取最小值ln4+

【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的单调区间，得到x1x2=1，x1+x2=a+2，x2﹣x1= 以及x1 ， x2 ， 代入f（n）﹣f（m）的表达式即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．