Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值？

Answer 1

分析：（I）求导数，利用导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间；
（II）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求导函数，利用函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，建立不等式组，即可求得m的取值范围．

解答：解：求导数可得：f'（x）=

a

x

-a（a＞0）
（I）当a=1时，f′(x)=

1-x

x

，
令f'（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间是（0，1）；
令f'（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．
（II）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，所以f'（2）=1．
所以a=-2，∴f'（x）=

-2

x

+2． 
∴函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]=x³+x²[

m

2

+2-

2

x

]=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，g'（0）=-2＜0
∴只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

∴-

37

3

＜m＜-9．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．