Question

（2010•泸州二模）设定义在R上的函数f（x），f（0）=2008，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2008）=（　　）

A．2²⁰⁰⁵+2004

B．2²⁰⁰⁷+2006

C．2²⁰⁰⁹+2008

D．2²⁰⁰⁸+2007

Answer 1

分析：由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，②-①可推得f（x+6）-f（x+2）≥15•2^x+2，可化为f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，可得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，两式相加可得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，由③④可推得恒等式，由此可求得答案．

解答：解：由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，
②-①，得f（x+6）-f（x+2）≥60•2^x=15•2^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，
由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，
两式相加，得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，
由①④，得f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（2008）=f（2004）+15•2²⁰⁰⁴
=f（2000）+15•2²⁰⁰⁴+15•2²⁰⁰⁰
=…
=f（0）+15•2²⁰⁰⁴+15•2²⁰⁰⁰+…+15•2⁴+15•2⁰
=2008+15•

1-16502

1-16

=2007+2²⁰⁰⁸，
故选D．

点评：本题考查函数单调性的性质及其应用，考查函数的求值，解决该题的关键是由不等式变出恒等式，体现转化思想．