Question

【题目】已知数列，满足：对于任意正整数n，当n≥2时，．

（1）若，求的值；

（2）若，，且数列的各项均为正数．

① 求数列的通项公式；

② 是否存在，且，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）84；（2）①（）；②，理由见解析.

【解析】

（1）在已知数列递推公式分别取为，累加可得的值；

（2）① 利用累加法求得，开方后求得数列的通项公式；

②由数列的通项公式求出，设，得到，列出不等式组，即可求解.

（1）由题意，因为，且，

可得，，，， ，，各式相加，可得.

（2）由，且，

可得，，，…，.

将上面的式子相加，得，

所以.

因为{an}的各项均为正数，故.

因为也适合上式，所以（）.

② 假设存在满足条件的k ,不妨设，

所以， 平方得，（*）

所以，

所以且，即

由（1）得，，即，

若，代入（*）式，求得不合，舍去；

若，结合（2）得，

所以，即，又且，

所以的可能取值为2，34，代入（*）式逐一计算，可求得.