Question

【题目】[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．

(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设P(1，2)，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）直线的普通方程为. 曲线的直角坐标方程为（2）

【解析】

(1)消去参数可得直线的普通方程，利用可以化成直角坐标方程；

(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..

解：（1）因为，所以，两式相减可得

直线的普通方程为.

因为，，，

所以曲线的直角坐标方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

整理得关于的方程： .

因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，

则 ，.

并且，

注意到 ，解得.

因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，

有

，

因为，所以，.

因此的取值范围是.