Question

【题目】已知直线过坐标原点，圆的方程为．

（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；

（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 直线l的方程为y=x或y=﹣x.

【解析】试题分析：(1) 由已知，直线的方程为，圆圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理可求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，设 ，则 ，将点的坐标代入椭圆方程求出的坐标，即可求直线的方程.

试题解析：（1）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，

所以，圆心到直线l的距离为=．…

所以，所求弦长为2=2．

（2） 设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．

又A，B在圆C上，

所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．

解得y1=1，x1=±1，

即A（1，1）或A（﹣1，1）

所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．