Question

已知直线kx-y+1=0与双曲线

x2

2

-y²=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求k的取值范围；
（2）若x轴上的点M（3，0）到A、B两点的距离相等，求k的值．

Answer 1

分析：（1）直线与双曲线方程联立消去y，根据判别式和1-2k²≠0，求得k的范围．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据（1）中可知x₁+x₂的表达式，设P为AB中点，则P点坐标可得，根据M（3，0）到A、B两点的距离相等，可知MP⊥AB，∴K_MP•K_AB=-1，代入即可求得k．

解答：解：（1）由

kx-y+1=0 x2 2 -y2=1

得（1-2k²）x²-4kx-4=0．
∴

1-2k2≠0 △=16k2+16(1-2k2)=16(1-k2) ＞0

解得：-1＜k＜1且k≠±

2

2

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k

1-2k2

设P为AB中点，则P（

x1+x2

2

，

k(x1+x2)

2

+1），即P（

2k

1-2k2

，

1

1-2k2

），
∵M（3，0）到A、B两点的距离相等，
∴MP⊥AB，∴K_MP•K_AB=-1，
即k•

1 1-2k2

2k 1-2k2 -3

=-1，解得k=

1

2

，或k=-1（舍去），
∴k=

1

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对圆锥曲线和直线问题的综合把握．