Question

【题目】如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点不同于点），且，为棱上的点，且．

求证：（1）平面平面；

（2）平面．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）推导出BB1⊥AD，AD⊥DE，从而AD⊥平面BCC1B1，由此能证明平面ADE⊥平面BCC1B1．（2）推导出BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1F，A1F⊥B1C1，从而A1F⊥平面BCC1B1，再由AD⊥平面BCC1B1，得A1F∥AD，由此能证明A1F∥平面ADE．

（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD，

又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，

所以AD⊥平面BCC1B1，

又因为AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．

（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，

因为A1F平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，

又因为A1F⊥B1C1，

在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，

所以A1F⊥平面BCC1B1，

在（1）中已证得AD⊥平面BCC1B1，

所以A1F∥AD，又因为A1F平面ADE，AD平面ADE，

所以A1F∥平面ADE．