Question

如图，三个同样大小的正方形并排一行．
（Ⅰ）求

OA

与

OB

夹角的余弦值．
（Ⅱ）求∠BOD+∠COD．

Answer 1

分析：设正方形的边长为1，可得

OA

，

OB

，

OC

，

OD

的坐标，（1）cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA || OB |

代入数据计算可得；（2）同理可得cos∠BOD，cos∠COD的值，由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值，可得cos（∠BOD+∠COD）的值，结合角的范围可得答案．

解答：解：设正方形的边长为1，则A（1，1），B（2，1），C（3，1），D（3，0），
故

OA

=（1，1），

OB

=（2，1），

OC

=（3，1），

OD

=（3，0）
（1）可得cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA || OB |

=

3

3 • 5

=

15

5

，
（2）同理可得cos∠BOD=

OD • OB

| OD || OB |

=

6

5 ×3

=

2 5

5

，
故可得sin∠BOD=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
cos∠COD=

OD • OC

| OD || OC |

=

9

10 ×3

=

3 10

10

，sin∠COD=

10

10

，
故cos（∠BOD+∠COD）=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
由角的范围可知∠BOD+∠COD=

π

4

点评：本题考查数量积表示向量的夹角，涉及和差角三角函数，属中档题．