Question

(本题满分15分)如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

满分15分。

（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以．　…………………………………7分

（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．

由（Ⅰ）知平面，

则为与平面所成的角．

在中，，

所以当最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此．又，所以，

所以．　 ………………………………………10分

解法一：因为平面，平面，所以平面平面．

过作于，则平面，

过作于，连接，则为二面角的平面角，

在中，，，

又是的中点，在中，，

又，在中，，即所求二面角的余弦值为．……………14分

解法二：

由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

，

，

所以．

设平面的一法向量为，

则因此

取，则，因为，，，

所以平面，故为平面的一法向量．

又，所以．

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．………………14分