Question

（08年福建卷理）（本小题满分12分）

　　　如图，椭圆的一个焦点是，O为坐标原点.

　　　（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角 

形，求椭圆的方程；

　   （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F

任意转动，恒有，求a的取值范围.

Answer 1

解析：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本 

知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力。满分12分。

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△为正三角形，

              所以,

即

              因此，椭圆方程为

 

 (Ⅱ) 设

           () 当直线 与轴重合时，

           () 当直线不与轴重合时，

              设直线的方程为：

               整理得

               所以

               因为恒有，所以恒为钝角.

               即恒成立.

             

                        

              又，所以对恒成立，

即对恒成立，

当时，最小值为0，

所以， ，

因为所以，即,

解得或(舍去)，即.

综合（i）(ii)，a的取值范围为.

解法二：

      (Ⅰ)同解法一.

      (Ⅱ) 解：()当直线垂直于轴时，

代人，.

因为恒有，，即，

           解得或(舍去)，即.

           () 当直线与不垂直于轴时，

           设直线的方程为代入.

           得，

           故

           因为恒有，

           所以，

           得恒成立。

          

                     

           由题意得对恒成立。

① 当时，不合题意；

           ② 当时，；

           ③ 当时，，

           解得或(舍去)，即，因此.

综合（i）(ii)，a的取值范围为.