Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l： （t为参数）过曲线C的焦点，且与曲线C交于M，N两点．
（1）写出曲线C及直线l直角坐标方程；
（2）求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，

可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，可得直角坐标方程：y2+4y﹣（x2+y2）=0，即x2=4y．

直线l： （t为参数）消去参数t可得普通方程：y﹣3=（x﹣2）tanα．

由题意可知：直线经过点（0，1），∴﹣2=﹣2tanα，可得tanα=1．

∴直线l的方程为：y﹣3=x﹣2，化为y=x+1

（2）解：联立 ，化为：x2﹣4x﹣4=0，

∴|MN|= = =8

【解析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程，把抛物线焦点（0，1）代入即可得出．（2）直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣4x﹣4=0，利用根与系数的关系及其|MN|= 即可得出．