Question

【题目】如图，已知等边中，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面EFCB.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）证明A'M⊥EF，推出A'M⊥平面EFCB，得到A'M⊥BF，证明BF⊥MN．得到BF⊥平面A'MN．然后证明平面A'MN⊥平面A'BF；

（2）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（1）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．

试题解析：

（I）因为为等边的边的中点，所以是等边三角形，且．因为是的中点，所以.

又由于平面平面,平面，所以平面

又平面，所以.

因为，所以，所以.

在正中知，所以.

而，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（II）设等边的边长为4，取中点，

连接，由题设知，

由（I）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，则,,,,.

设平面的一个法向量为，则由

得令，则.

平面的一个法向量为

所以，

显然二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.