Question

13．过直线x=2上一点P作圆：x²+y²=1的两条切线PA，PB，则k_PA•k_PB的最小值为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意设P（2，t），切线斜率为k，可得切线方程，由相切可得3k²-4tk+t²-1=0，k_PA和k_PB为方程的实根，由韦达定理和二次函数的最值可得．

解答 解：由题意设P（2，t），切线斜率为k，
则切线方程为y-t=k（x-2）即kx-y+t-2k=0，
由直线和圆相切可得$\frac{|t-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
整理可得3k²-4tk+t²-1=0，
可得k_PA和k_PB为上面方程的实根，
故k_PA•k_PB=$\frac{1}{3}$（t²-1）≥-$\frac{1}{3}$
当且仅当t=0时取等号．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查圆的切线方程，涉及点到直线的距离公式和韦达定理，属中档题．