Question

存在两条直线x=±m与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A．(1，

  2

  )
• B．(1，

  3

  )
• C．(

  2

  ，+∞)
• D．(

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：把x=±m代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)可得

m2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b

a

m2-a2

．由于四边形ABCD为正方形，可得|m|=

b

a

m2-a2

，化为m2=

a2b2

b2-a2

．利用m²＞a²，可得

a2b2

b2-a2

＞a2，化为b²＞a²，解出即可．

解答：解：把x=±m代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)可得

m2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b

a

m2-a2

，
∵四边形ABCD为正方形，∴|m|=

b

a

m2-a2

，化为m2=

a2b2

b2-a2

．
∵m²＞a²，
∴

a2b2

b2-a2

＞a2，化为b²＞a²，∴c²-a²＞a²，
∴e²＞2，解得e＞

2

，
故选C．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、正方形的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．