Question

（07年湖北卷理）（12分）

如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，．

（I）求证：平面；

（II）当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

Answer 1

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解析：解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

在中，；

设，在中，，．

，，．又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

，，．

又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

，，．

又，，

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

设．

（Ⅰ），

，

即．

，

即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，

设是平面的一个非零法向量，

则取，得．

可取，又，

于是，

，关于递增．

，．

即直线与平面所成角的取值范围为．