Question

【题目】已知直角梯形ABCD中， 是边长为2的等边三角形，AB=5．沿CE将 折起，使B至 处，且 ；然后再将 沿DE折起，使A至 处，且面 面CDE， 和 在面CDE的同侧．

(Ⅰ) 求证： 平面CDE；
(Ⅱ) 求平面 与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)证明：在直角梯形ABCD中，可算得

根据勾股定理可得 ，即： ，又 ， 平面CDE；

(Ⅱ) 以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，如图，则 , ， ， ，作 ，因为面 面CDE，易知， ，且 ，

从平面图形中可知： ，易知面CDE的法向量为

设面PAD的法向量为 ，且 ．

解得

故所求平面 与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】(1)由已知结合折叠特点得到B'C⊥DE，再利用勾股定理计算可得出B C ⊥ E C，结合线面垂直的判定定理即可得证B ' C ⊥ 平面CDE。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面PAD和平面CDE的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。