Question

∫

1 -1

( 1-x2 +x)dx=

π

2

．

Answer 1

分析：由于

∫

-1 1

( 1-x2 +x)dx=

∫

1 -1

( 1-x2 +x)dx=

∫

1 -1

1-x2 dx+ ∫ 1 -1 xdx

，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．

解答：解：由于

∫

1 -1

( 1-x2 +x)dx=

∫

1 -1

1-x2 dx+ ∫ 1 -1 xdx

，

∫

1 -1

1-x2

dx表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积

∫

1 -1

1-x2

dx=

1

2

π×1=

π

2

，
又

∫

1 -1

xdx=

1

2

x2

|

1 -1

=0，
∴原式=

π

2

+0=

π

2

．
故答案为：

π

2

．

点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．