Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，当x＞0时，f（x）＞1；且f（2）=3，
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并给予证明；
（3）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令a=b=0，由题意可知：f（0）=f（0）+f（0）﹣1，即f（0）=1，

同理，令a=b=1，则有f（2）=f（1）+f（1）﹣1，又f（2）=3，所以f（1）=2

（2）解：在R上任取x1、x2，设x1＞x2，

则f（x1）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣1，所以f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，

又当x＞0时，f（x）＞1且x1﹣x2＞0，所以f（x1﹣x2）＞1，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

故函数f（x）在R上为单调递增

（3）解：因为f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2对任意的x∈R恒成立，

由题意可转化为kx2﹣kx+2＞0对任意的x∈R恒成立，

①当k=0时，得2＞0，符合题意；

②当k≠0时，则 ，解得0＜k＜8

故符合题意的实数k的取值范围为0≤k＜8

【解析】（1）令a=b=0，由题意即可求解f（0），令a=b=1，即可求解f（1）．（2）利用单调性的定义在R上任取x1、x2 ， 设x1＞x2 ， 推出f（x1）＞f（x2），得到函数f（x）在R上为单调递增；（3）通过f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2对任意的x∈R恒成立，转化为kx2﹣kx+2＞0对任意的x∈R恒成立，①当k=0时，②当k≠0时，分别求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．