Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D= ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．

（1）求证：A1O∥平面AB1C；
（2）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图（1），

连接CO、A1O、AC、AB1，

则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，

所以，四边形A1B1CO为平行四边形，

所以A1O∥B1C，

又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C

所以A1O∥平面AB1C

（2）解：因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD

又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，

所以D1O⊥底面ABCD，

以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，

则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．所以 ，

设 为平面C1CDD1的一个法向量，

由 ，得 ，

令z=1，则y=1，x=1，∴ ．

又设 为平面AC1D1的一个法向量，

由 ，得 ，

令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴ ，

则 ，

故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为

【解析】（1）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1 ， 利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量 ，以及平面AC1D1的一个法向量 ，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．