Question

一条直线l被两条直线：4x＋3y＋6=0和3x－5y－6=0截得的线段中心恰好是坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

答案：x+6y=0
解析：

解法1：当直线的斜率存在时由题意知，直线l过原点，则设直线l的方程为y=kx． 由 由 ∵点(0，0)是上述两个点的中点， ∴ 解可得． ∴所求直线的方程为，即为x＋6y=0． 当直线的斜率不存在时，直线即为y轴，而y轴和两条已知直线的交点分别为(0，－6)和，显然不满足中点为原点的要求． 综上可知所求直线的方程为x＋6y=0． 解法2：依题意知l过原点，当直线的斜率存在时可设l的方程为y=kx． 设l与两已知直线的交点分别为，， 则解得 又根据中点坐标公式有解得． 因为当k不存在时，l即为轴，而y轴和两已知直线的交点分别为(0，6)和，显然不满足中点是原点的要求．因此所求直线方程为，即x＋6y=0． 解法3：设所求直线l与直线4x＋y＋6=0，以及3x－5y－6=0的交点分别为A、B，且A()， ∵线段AB中点为坐标原点(0，0)，则点B坐标为B． 又由点A、B分别在已知直线上， ∴ ∴ 又∵直线l过原点， ∴直线l斜率， 直线l方程为．

提示：

方法1：由于所求直线被两条已知直线截得线段的中点为坐标原点，即所求的直线经过坐标原点，因此所求的直线方程可以设为． 方法2：由于直线l与两已知直线交点所得线段中点恰为坐标原点，因此，可设一个交点坐标为，根据中点坐标公式，表示出一个定点坐标，再由两交点分别在两已知直线上，可列出关于的方程组，求出即可．再根据所求直线过原点，可得直线l的方程．