Question

已知函数f（x）=

2

sin（x-

π

4

）-a，其中a为常数，且x=

π

2

是f（x）的一个零点．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由周期公式T=

2π

ω

（ω＞0）即可求得函数f（x）的最小正周期；
（2）依题意，可求得a的值，再利用正弦函数的性质即可求得当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

sin（x-

π

4

）-a，
∴其周期T=

2π

1

=2π，
∴函数f（x）的最小正周期为2π；
（2）∵x=

π

2

是f（x）的一个零点，
∴f（

π

2

）=

2

sin

π

4

-a=0，
∴a=1．
∴f（x）=

2

sin（x-

π

4

）-1．
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（x-

π

4

）≤1，
∴-2≤

2

sin（x-

π

4

）-1≤

2

-1，
即-2≤f（x）≤

2

-1．
∴当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域为[-2，

2

-1]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性，求得a的值是关键，属于中档题．