Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．
（2）若

1

2

f（x）≤m²+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，
则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x₁和x₂，且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

[x₁+（-x₂）]．
由于

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，且[x₁+（-x₂）]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．
（2）由于

1

2

f(x)≤m2+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m²+2am+1）．
由于由（1）可得，函数f（x）是[-1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，
∴2（m²+2am+1）≥2，即 m²+2am≥0．
令关于a的一次函数g（a）=m²+2am，则有

g(-1)=m2-2m≥0 g(1)=m2+2m≥0

，
解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．