Question

【题目】已知动点到直线的距离比到定点的距离大1.

（1）求动点的轨迹的方程.

（2）若为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，为的中点.

①求证：轴；

②直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）由题意知，动点到直线的距离等于到定点的距离，符合抛物线的定义，求轨迹的方程为；

（2）①设动点，，，利用导数求出切线的方程分别为：、，从而有，为方程的两根，证明点的横坐标与点的横坐标相等，从而证得轴；

②由①中的结论，把直线的方程写成含有参数的形式，即

并把方程看成关于的一次函数，从而得到定点为。

（1）由动点到直线的距离比到定点的距离大1得，

动点到直线的距离等于到定点的距离，

所以点的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中，

轨迹方程为.

（2）①设切点，，，所以切线的斜率为，

切线.

设，则有，化简得.

同理可得.

所以，为方程的两根.

则有，，所以.

因此轴.

② 因为，

所以.又因为，

所以直线，即.

即直线过定点.