Question

【题目】如图所示，平面ABCD，为等边三角形，，，M为AC的中点．

证明：平面PCD；

若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

因为M为等边的AC边的中点，所以依题意，且A、B、C、D四点共面，由此能证明平面PCD；因为，，所以平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为，在等腰中，过点M作于点E，再在中作于点F，即为二面角的平面角，由此能求出二面角的正切值．

证明：因为M为等边的AC边的中点，所以．

依题意，且A、B、C、D四点共面，所以．

又因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．

解：因为，，

所以平面PAC，故PD与平面

PAC所成的角即为．

不妨设，则．

由于，所以．

在等腰中，过点M作于点E，

再在中作于点.

因为，，所以平面PCD，可得．

又，

所以即为二面角的平面角．

由题意知，，，

所以，

即二面角的正切值是．