Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴?求证直线AC经过线段EF的中点．

Answer 1

分析：欲证直线AC经过线段EF的中点，分两类讨论：①若AB垂直于x轴，②若AB不垂直于x轴，对于第一种特殊情况比较简单，直接验证即可；对于第二种情况，记A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），求出直线AN，CN的斜率看它们是不是相等，若相等，则可得A、C、N三点共线．即可证得直线AC经过线段EF的中点N．

解答：证明：依设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），
右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），
EF的中点为N（

3

2

，0）（3分）
若AB垂直于x轴，
则A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
∴AC中点为N（

3

2

，0），
即AC过EF中点N．
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，
且由BC∥x轴知点B不在x轴上，
故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0．
记A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
则C（2，y₂）且x₁，
x₂满足二次方程

x2

2

+k2(x-1)2=1
即（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

（10分）
又x²₁=2-2y²₁＜2，得x₁-

3

2

≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为
k₁=

y1

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

k2=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)
∴k₁-k₂=2k•

(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)

2x1-3

∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4
=

1

1+2k2

[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂，故A、C、N三点共线．
所以，直线AC经过线段EF的中点N．（14分）

点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能